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卷九

九章算术 | 作者:刘徽 | 更新时间:2017-06-01 10:24:49
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《卷九》作者:张苍

○句股(以御高深广远) 今有句三尺,股四尺,问为弦几何?答曰:五尺。

今有弦五尺,句三尺,问为股几何?答曰:四尺。

今有股四尺,弦五尺,问为句几何?答曰:三尺。

句股 〔短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦。句短其股,股短其弦。将以施于诸 率,故先具此术以见其源也。〕 术曰:句、股各自乘,并,而开方除之,即弦。

〔句自乘为朱方,股自乘为青方。令出入相补,各从其类,因就其余不移动 也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。〕 又,股自乘,以减弦自乘。其余,开方除之,即句。

〔淳风等按:此术以句、股幂合成弦幂。句方于内,则句短于股。令股自乘, 以减弦自乘,余者即句幂也。故开方除之,即句也。〕 又,句自乘,以减弦自乘。其余,开方除之,即股。

〔句、股幂合以成弦幂,令去其一,则余在者皆可得而知之。〕 今有圆材,径二尺五寸。欲为方版,令厚七寸,问广几何?答曰:二尺四寸。

术曰:令径二尺五寸自乘,以七寸自乘,减之。其余,开方除之,即广。

〔此以圆径二尺五寸为弦,版厚七寸为句,所求广为股也。〕 今有木长二丈,围之三尺。葛生其下,缠木七周,上与木齐。问葛长几何? 答曰:二丈九尺。

术曰:以七周乘围为股,木长为句,为之求弦。弦者,葛之长。

〔据围广,求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管,青线宛转,有似葛之缠木。

解而观之,则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长,弦。七周乘围,并合众 句以为一句;木长而股,短;术云木长谓之股,言之倒。句与股求弦,亦无围。

弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂,明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之 中而已。可更相表里,居里者则成方幂,其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。

又按:此图句幂之矩青,卷白表,是其幂以股弦差为广,股弦并为袤,而股幂方 其里。股幂之矩青,卷白表,是其幂以句弦差为广,句弦并为袤,而句幂方其里。

是故差之与并用除之,短、长互相乘也。〕 今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭 长各几何?答曰:水深一丈二尺。葭长一丈三尺。

术曰:半池方自乘, 〔此以池方半之,得五尺为句;水深为股;葭长为弦。以句、弦见股,故令 句自乘,先见矩幂也。〕 以出水一尺自乘,减之。

〔出水者,股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕 余,倍出水除之,即得水深。

〔差为矩幂之广,水深是股。令此幂得出水一尺为长,故为矩而得葭长也。〕 加出水数,得葭长。

〔淳风等按:此葭本出水一尺,既见水深,故加出水尺数而得葭长也。〕 今有立木,系索其末,委地三尺。引索却行,去本八尺而索尽。问索长几何? 答曰:一丈二尺六分尺之一。

术曰:以去本自乘, 〔此以去本八尺为句,所求索者,弦也。引而索尽、开门去阃者,句及股弦 差,同一术。去本自乘者,先张矩幂。〕 令如委数而一。

〔委地者,股弦差也。以除矩幂,即是股弦并也。〕 所得,加委地数而半之,即索长。

〔子不可半者,倍其母。加差者并,则两长。故又半之。其减差者并,而半 之,得木长也。〕 今有垣高一丈,倚木于垣,上与垣齐。引木却行一尺,其木至地。问木长几 何?答曰:五丈五寸。

术曰:以垣高一十尺自乘,如却行尺数而一。所得,以加却行尺数而半之, 即木长数。

〔此以垣高一丈为句,所求倚木者为弦,引却行一尺为股弦差。为术之意与 系索问同也。〕 今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何? 答曰:材径二尺六寸。

术曰:半锯道自乘, 〔此术以锯道一尺为句,材径为弦,锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半 也。

淳风等按:下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者,锯道也。〕 如深寸而一,以深寸增之,即材径。

〔亦以半增之。如上术,本当半之,今此皆同半,故不复半也。〕 今有开门去阃一尺,不合二寸。问门广几何?答曰:一丈一寸。

术曰:以去阃一尺自乘。所得,以不合二寸半之而一。所得,增不合之半, 即得门广。

〔此去阃一尺为句,半门广为弦,不合二寸以半之,得一寸为股弦差。求弦, 故当半之。今次以两弦为广数,故不复半之也。〕 今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何?答曰:广 二尺八寸。高九尺六寸。

术曰:令一丈自乘为实。半相多,令自乘,倍之,减实。半其余,以开方除 之。所得,减相多之半,即户广;加相多之半,即户高。

〔令户广为句,高为股,两隅相去一丈为弦,高多于广六尺八寸为句股差。

按图为位,弦幂适满万寸。倍之,减句股差幂,开方除之。其所得即高广并数。

以差减并而半之,即户广。加相多之数,即户高也。今此术先求其半。一丈自乘 为朱幂四、黄幂一。半差自乘,又倍之,为黄幂四分之二,减实,半其余,有朱 幂二、黄幂四分之一。其于大方者四分之一。故开方除之,得高广并数半。减差 半,得广;加,得户高。又按:此图幂:句股相并幂而加其差幂,亦减弦幂,为 积。盖先见其弦,然后知其句与股。今适等,自乘,亦各为方,合为弦幂。令半 相多而自乘,倍之,又半并自乘,倍之,亦合为弦幂。而差数无者,此各自乘之, 而与相乘数,各为门实。及股长句短,同源而分流焉。假令句、股各五,弦幂五 十,开方除之,得七尺,有余一,不尽。假令弦十,其幂有百,半之为句、股二 幂,各得五十,当亦不可开。故曰:圆三、径一,方五、斜七,虽不正得尽理, 亦可言相近耳。其句股合而自相乘之幂者,令弦自乘,倍之,为两弦幂,以减之, 其余,开方除之,为句股差。加于合而半,为股;减差于合而半之,为句。句、 股、弦即高、广、邪。其出此图也,其倍弦为袤。令矩句即为幂,得广即句股差。

其矩句之幂,倍句为从法,开之亦句股差。以句股差幂减弦幂,半其余,差为从 法,开方除之,即句也。〕 今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。问折者高几何?答曰:四尺二十分尺 之一十一。

术曰:以去本自乘, 〔此去本三尺为句,折之余高为股,以先令句自乘之幂。〕 令如高而一。

〔凡为高一丈为股弦并,以除此幂得差。〕 所得,以减竹高而半余,即折者之高也。

〔此术与系索之类更相反覆也。亦可如上术,令高自乘为股弦并幂,去本自 乘为矩幂,减之,余为实。倍高为法,则得折之高数也。〕 今有二人同所立,甲行率七,乙行率三。乙东行,甲南行十步而斜东北与乙 会。问甲、乙行各几何?答曰:乙东行一十步半,甲斜行一十四步半及之。

术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲斜行率。斜行率减于七自乘, 余为南行率。以三乘七为乙东行率。

〔此以南行为句,东行为股,斜行为弦,并句弦率七。欲引者,当以股率自 乘为幂,如并而一,所得为句弦差率。加并之半为弦率,以差率减,余为句率。

如是或有分,当通而约之乃定。术以同使无分母,故令句弦并自乘为朱、黄相连 之方。股自乘为青幂之矩,以句弦并为袤,差为广。今有相引之直,加损同上。

其图大体以两弦为袤,句弦并为广。引黄断其半为弦率。列用率七自乘者,句弦 并之率。故弦减之,余为句率。同立处是中停也,皆句弦并为率,故亦以句率同 其袤也。〕 置南行十步,以甲斜行率乘之;副置十步,以乙东行率乘之;各自为实。实 如南行率而一,各得行数。

〔南行十步者,所有见句求见弦、股,故以弦、股率乘,如句率而一。〕 今有句五步,股十二步。问句中容方几何?答曰:方三步十七分步之九。

术曰:并句、股为法,句、股相乘为实。实如法而一,得方一步。

〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。令黄幂袤于隅中,朱、青各以其类,令 从其两径,共成修之幂:中方黄为广,并句、股为袤。故并句、股为法。幂图: 方在句中,则方之两廉各自成小句股,而其相与之势不失本率也。句面之小句、 股,股面之小句、股各并为中率,令股为中率,并句、股为率,据见句五步而今 有之,得中方也。复令句为中率,以并句、股为率,据见股十二步而今有之,则 中方又可知。此则虽不效而法,实有法由生矣。下容圆率而似今有、衰分言之, 可以见之也。〕 今有句八步,股一十五步。问句中容圆径几何?答曰:六步。

术曰:八步为句,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以句乘股,倍之 为实。实如法,得径一步。

〔句、股相乘为图本体,朱、青、黄幂各二。倍之,则为各四。可用画于小 纸,分裁邪正之会,令颠倒相补,各以类合,成修幂:圆径为广,并句、股、弦 为袤。故并句、股、弦以为法。又以圆大体言之,股中青必令立规于横广,句、 股又邪三径均。而复连规,从横量度句、股,必合而成小方矣。又画中弦以规 除会,则句、股之面中央小句股弦:句之小股、股之小句皆小方之面,皆圆径之 半。其数故可衰。以句、股、弦为列衰,副并为法。以句乘未并者,各自为实。

实如法而一,得句面之小股可知也。以股乘列衰为实,则得股面之小句可知。言 虽异矣,及其所以成法之实,则同归矣。则圆径又可以表之差并:句弦差减股 为圆径;又,弦减句股并,余为圆径;以句弦差乘股弦差而倍之,开方除之,亦 圆径也。〕 今有邑方二百步,各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木? 答曰:六百六十六步大半步。

术曰:出东门步数为法, 〔以句率为法也。〕 半邑方自乘为实,实如法得一步。

〔此以出东门十五步为句率,东门南至隅一百步为股率,南门东至隅一百步 为见句步。欲以见句求股,以为出南门数。正合半邑方自乘者,股率当乘见句, 此二者数同也。〕 今有邑东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几 何步而见木?答曰:三百一十五步。

术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实 如法而一。

〔此以东门南至隅四里半为句率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里 半为见股。所问出南门即见股之句。为术之意,与上同也。〕 今有邑方不知大小,各中开门。出北门三十步有木,出西门七百五十步见木。

问邑方几何?答曰:一里。

术曰:令两出门步数相乘,因而四之,为实。开方除之,即得邑方。

〔按:半邑方,令半方自乘,出门除之,即步。令二出门相乘,故为半方邑 自乘,居一隅之积分。因而四之,即得四隅之积分。故为实,开方除,即邑方也。〕 今有邑方不知大小,各中开门。出北门二十步有木,出南门一十四步,折而 西行一千七百七十五步见木。问邑方几何?答曰:二百五十步。

术曰:以出北门步数乘西行步数,倍之,为实。

〔此以折而西行为股,自木至邑南一十四步为句,以出北门二十步为句率, 北门至西隅为股率,半广数。故以出北门乘折西行股,以股率乘句之幂。然此幂 居半,以西行。故又倍之,合东,尽之也。〕 并出南、北门步数,为从法,开方除之,即邑方。

〔此术之幂,东西如邑方,南北自木尽邑南十四步之幂,各南北步为广,邑 方为袤,故连两广为从法,并,以为隅外之幂也。〕 今有邑方一十里,各中开门。甲、乙俱从邑中央而出:乙东出;甲南出,出 门不知步数,邪向东北,磨邑隅,适与乙会。率:甲行五,乙行三。问甲、乙行 各几何?答曰:甲出南门八百步,邪东北行四千八百八十七步半,及乙。乙东行 四千三百一十二步半。

术曰:令五自乘,三亦自乘,并而半之,为邪行率;邪行率减于五自乘者, 余为南行率;以三乘五为乙东行率。

〔求三率之意与上甲乙同。〕 置邑方,半之,以南行率乘之,如东行率而一,即得出南门步数。

〔今半方,南门东至隅五里。半邑者,谓为小股也。求以为出南门步数。故 置邑方,半之,以南行句率乘之,如股率而一。〕 以增邑方半,即南行。

〔半邑者,谓从邑心中停也。〕 置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求东行者,以东行率乘之,各自为实。

实如法,南行率,得一步。

〔此术与上甲乙同。〕 今有木去人不知远近。立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直。从后 右表望之,入前右表三寸。问木去人几何?答曰:三十三丈三尺三寸少半寸。

术曰:令一丈自乘为实,以三寸为法,实如法而一。

〔此以入前右表三寸为句率,右两表相去一丈为股率,左右两表相去一丈为 见句。所问木去人者,见句之股。股率当乘见句,此二率俱一丈,故曰自乘之。

以三寸为法。实如法得一寸。〕 今有山居木西,不知其高。山去木五十三里,木高九丈五尺。人立木东三里, 望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何?答曰:一百六十四丈九尺六寸 太半寸。

术曰:置木高,减人目高七尺, 〔此以木高减人目高七尺,余有八丈八尺,为句率;去人目三里为股率;山 去木五十三里为见股,以求句。加木之高,故为山高也。〕 余,以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得,加木高, 即山高。

〔此术句股之义。〕 今有井,径五尺,不知其深。立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸。

问井深几何?答曰:五丈七尺五寸。

术曰:置井径五尺,以入径四寸减之,余,以乘立木五尺为实。以入径四寸 为法。实如法得一寸。

〔此以入径四寸为句率,立木五尺为股率,井径之余四尺六寸为见句。问井 深者,见句之股也。〕 今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。

问户高、广、邪各几何?答曰:广六尺。高八尺。邪一丈。

术曰:从、横不出相乘,倍,而开方除之。所得,加从不出,即户广; 〔此以户广为句,户高为股,户邪为弦。凡句之在股,或矩于表,或方于里。

连之者举表矩而端之。又从句方里令为青矩之表,未满黄方。满此方则两端之邪 重于隅中,各以股弦差为广,句弦差为袤。故两端差相乘,又倍之,则成黄方之 幂。开方除之,得黄方之面。其外之青知,亦以股弦差为广。故以股弦差加,则 为句也。〕 加横不出,即户高;两不出加之,得户邪。
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